В рамках работы Регионального математического центра НГУ профессор Дубинин Владимир Николаевич (ДВФУ, г. Владивосток) читает курс лекций "Емкости конденсаторов: асимптотические формулы и геометрические преобразования" для студентов 2-4 курсов, магистрантов, аспирантов и всех желающих.
Лекции будут проходить в ауд. 4204 учебного корпуса НГУ, согласно следующему расписанию:
- Вторник, 10 апреля, 18:10 – 19:45,
- Среда, 11 апреля, 16:20 – 17:55,
- Пятница, 13 апреля, 16:20 – 17:55,
- Понедельник, 16 апреля, 16:20 – 17:55,
- Среда, 18 апреля, 16:20 – 17:55,
- Пятница, 20 апреля, 16:20 – 17:55.
Курс лекций посвящен развитию емкостного подхода и симметризации в приложениях к современным и классическим задачам геометрической теории функций. На протяжении всего курса рассматриваются только конформная емкость и конденсаторы на комплексной плоскости. Вместе с тем, результаты, связанные с геометрическими преобразованиями пластин конденсаторов и поведением емкости конденсаторов при этих преобразованиях, естественным образом переносятся на весьма широкий класс вариационных емкостей и конденсаторов в евклидовом пространстве большего числа измерений.
В качестве введения рассматриваются классические конденсаторы с двумя пластинами, заданные в областях сферы Римана. Затем мы переходим к изучению свойств конденсаторов с тремя и более пластинами: различных видов монотонности, принципов композиции и симметрии. На второй лекции выводятся асимптотические формулы для емкостей обобщенных конденсаторов, когда некоторые пластины этих конденсаторов стягиваются в точки, включая случай вырождения всех пластин конденсатора. Здесь же обсуждается понятие приведенного модуля, частные случаи которого в виде модулей двуугольников и треугольников рассматривались ранее с позиции метода экстремальных метрик. Изучение геометрических преобразований начнем с поляризации – простейшей, но весьма важной перестановки пластин конденсатора. Коснемся истории вопроса, связанной с задачей Вуоринена. Затем докажем основной результат и обсудим обобщения и приложения этого результата, в частности, к решению одной задачи Гончара. Далее познакомимся с цепочкой преобразований, связанной с поляризацией, которая приводит к различным видам симметризации конденсаторов, как на плоскости, так и в пространстве. Наконец, коснемся диссимметризации конденсаторов – единственного пока преобразования симметричного конденсатора в несимметричный, при котором емкость конденсатора не возрастает. Заключительная лекция посвящена приложениям предыдущего материала в геометрической теории голоморфных функций. Мы анонсируем некоторые направления; напомним общий подход к получению теорем искажения, восходящий к Хейману; и представим подробнее приложения конденсаторов с тремя пластинами к получению геометрических оценок производной Шварца. В каждой лекции предполагается исходить из постановки задачи (либо методологической идеи) и затем реализации решения этой задачи на доступном примере. После чего приводится обзор возможных обобщений с указанием нерешенных проблем. В основу лекций легли некоторые главы из книги автора «Condenser capacities and symmetrization in geometric function theory» Basel: Birkhäuser/Springer, 2014.